話說把這個小問題拿給老婆作，她先試了三個反面跟一個正面的情況。簡化問題，經常是解數學問題的好方法。過了一會兒，她很得意地跟我說，她會了，分成三個一個，把一個翻面就可以。

嗯，沒錯。那原題呢？她說再想想，然後就跑去客廳看電視了。過一會兒，她又跑進房間說她會了。我準備聽她解釋。

“首先，把牌分成十九堆。”什麼？分成十九堆？是要分成十九張一堆，講錯了吧？

“妳把所有牌分成十九堆？”我懷疑地問。

“對啊！”她很鎮定地回答。這是什麼方法？嗯，耐心繼續聽下去，看她要變成麼戲法。向來老婆解決問題的方法跟所謂正統方法不一樣。

“每一堆，我再分成兩堆，一堆一張，一堆剩下的。我剛已經解過類似的情況，只要把一張的翻過來就好。然後再把所有一張的合起來成一堆，所有其它的另一堆，就好了。”她得意地解釋。

“妳這麼辛苦分了十九堆，每堆又分一張出來，翻面，再放一起，不就等於拿十九張出來，全部翻面？”，她想了下，笑著同意。

再過一會兒，我發現不對。追到客廳去。“妳剛唬弄我啦，妳分成十九堆，又不保證每堆都剛好有一個正面！”

“蛤？”她傻笑。

再過了一會兒，她又跑進房間來解釋。“如果原先十九堆，不是剛好每堆一個正面的話，老天爺可以好心地幫我稍微換一下，變成每堆剛好一個正面。反正最後我是將一張的小堆全放在一起，老天爺幫我換一下其它的，並不影響我的方法。所以，在老天爺的幫忙下，我就可以套用之前的方法了。”

蛤？還有這樣解的啊？不過，其實我還蠻喜歡這個解法的。雖然繞了一大圈，但它是個建構式的想法。先把問題最簡單化。再將最簡單化的解法，套用在較困難的問題上。

假設你的眼睛被矇起來。我給了你一副樸克牌，有 19 張牌正面朝上，有 33 張牌正面朝下。你的任務是把這些牌分成兩堆，兩堆可以不一樣多張，但是，牌面朝上的張數必須一樣多。你能辦到嗎？

]]> http://blog.roodo.com/bubblesld/archives/958032.html http://blog.roodo.com/bubblesld/archives/958032.html 數學 Thu, 05 Jan 2006 02:33:31 +0800 看來，這個小問題，沒有人有作答的興趣。我就公佈答案：

自己隨便選一個取值在負無限大到無限大的機率分佈，比如，就取常態分佈 N(0,1) 好了。隨機從這分佈取一個值，如果對方給你看的數比你隨機取的那個值大，就猜另一個數比較小；反之，則猜另一個數比較大。

這樣的猜法，會比隨便猜的 50% 要稍大一點點。為什麼？留給有興趣的人自己想一想 :)

假設我今天從某個隨機分佈中隨機取了兩個數，我不告訴你那隨機分佈是什麼，可能是常態分佈，也可能是某個我自己隨便亂造的機率分佈。總之，我藉此隨機取了兩個數，並把其中一個數告訴你，而要你猜另一個數比較大或比較小。在什麼都不知道的情況下，這樣的猜測似乎只有 50% 的機率？但我希望你想個方法，使你猜對的機率略大於 50%，你辦得到嗎？還是這是強人所難？

其實假設選到的是 X 並沒有問題，設變數時並不是一定得設原來兩個紙袋中各有 Y 和 2Y。在假設選到的是 X，以及另一袋是 X/2 跟 2X 的機會各半，從此推算另一袋的期望值是 1.25X 在計算上也沒有問題。那問題在哪裡？

多數人大概沒想到，問題出在另一袋是 X/2 跟 2X 的機會各一半是有問題的。看來不是很直覺，另一袋是 X/2 跟 2X 的機會應該是各一半啊？這個推論是根據：原本那兩袋裡面的任何錢的機率是一樣的。數學一點的說法：若原本兩袋裡的錢是（Y, 2Y），則對於任何的 a，Pr(Y=a) 是個定值。很不幸地，這雖然看起來很平常，卻是個無法辦到的事。像本題這樣，當定義域是無界的，你無法給 Pr(Y=a) 一個值，而還要讓它加起來等於一（或是定 pdf，然後積分起來等於一）。

一個機率空間是個三合一的空間，它包含了 space，Borel field，以及 probability measure。space 就是定義域，比如說是整數，實數，二維空間等。Borel field 是某種 field，是一堆定義域子集。B.F. 裡面的一個元素，可以想成是某種可能會發生的事件。最後，probability measure 就是大家較熟悉的機率測度。一般人常會不管 space 和 B.F. 而只在意機率。今天這個例子就在顯示，這是一件非常危險的事。即使看起來很直覺，但若不小心用，機率是會產生錯誤的。

假設今天有兩個紙袋，我在裡面裝了一些錢，其中一袋的錢是另一袋的兩倍。現在讓你任選一袋為獎金。當你選了一袋後，一打開是廿塊美金。此時，我跟你說，我多給你一個機會，你可以選擇拿著廿塊，或者拿另一個未知的。於是，你開始在心中盤算，還好上課有認真上，這個期望值的算術難不倒你。那個未知的紙袋，有一半的機會是四十塊，另一半的機會是十塊，就期望值來說，選另一袋的期望值是廿五塊。所以，你很有自信地去選擇另一袋。

感覺奇怪嗎？怎麼會換了，平均來說較好？

如果，在你還沒看多少錢之前就先問你要不要換，你假設你選到是 X，也會算出換另一袋的期望值是 1.25X，所以該換。換了後，你可以再算一次，又會發現再換更好。換越多次，值望值越高，這是怎麼回事？

The thin plate spline is the two-dimensional analog of the cubic spline in one dimension. It is the fundamental solution to the biharmonic equation, and has the form

Given a set of data points, a weighted combination of thin plate splines centered about each data point gives the interpolation function that passes through the points exactly while minimizing the so-called "bending energy." Bending energy is defined here as the integral over of the squares of the second derivatives,

Regularization may be used to relax the requirement that the interpolant pass through the data points exactly.

The name "thin plate spline" refers to a physical analogy involving the bending of a thin sheet of metal. In the physical setting, the deflection is in the z direction, orthogonal to the plane. In order to apply this idea to the problem of coordinate transformation, one interprets the lifting of the plate as a displacement of the x or y coordinates within the plane. Thus, in general, two thin plate splines are needed to specify a two-dimensional coordinate transformation.