水瓶倒出的流水帳

路人癸再度得到正確的解答。我一樣加一些分析，一樣放在“繼續閱讀”，想要繼續想的人，可以慢慢再想。 ...繼續閱讀

假設一群人，就當作是紅襪的廿五人好了，你是其中一個。這群人接下來要被進行這樣的測驗，每個人將被戴上一頂帽子，帽子上面會有 A 或 B 的字母。每個人可以看到別人的帽子上是寫 A 或 B，但看不到自己的。在進行這測驗前，廿五人可以先討論一個團隊策略。但在帶上帽子後，彼此間不能交換，傳遞任何訊息。然後，大家要寫下自己的帽子上是 A 或 B。目標是，全隊都答對，或都答錯。你有什麼錦囊妙策嗎？

這個小問題，路人癸已經提供了一個正確的方法。我只多加幾句分析的話。為了避免被仍想自己得到答案的人不小心看到，我將把接下來的，放在繼續閱讀中。 ...繼續閱讀

假設有 n 個未知的正整數 x1, x2, ..., xn（有可能重複）。你每次告訴我一組任何整數 y1, y2, ..., yn，我就告訴你，x1*y1+x2*y2+...+xn*yn 是多少。那你能夠幾次就有把握得到 x1, x2, ..., xn 是多少？

KDE 的方法是正解。若取到的 19 張，共有 x 張正面朝上，另外 33 張將有 19-x 張正面朝上。把那 19 張全翻面，兩邊就分別有 19-x 張正面朝上。

話說把這個小問題拿給老婆作，她先試了三個反面跟一個正面的情況。簡化問題，經常是解數學問題的好方法。過了一會兒，她很得意地跟我說，她會了，分成三個一個，把一個翻面就可以。

嗯，沒錯。那原題呢？她說再想想，然後就跑去客廳看電視了。過一會兒，她又跑進房間說她會了。我準備聽她解釋。

“首先，把牌分成十九堆。”什麼？分成十九堆？是要分成十九張一堆，講錯了吧？

“妳把所有牌分成十九堆？”我懷疑地問。

“對啊！”她很鎮定地回答。這是什麼方法？嗯，耐心繼續聽下去，看她要變成麼戲法。向來老婆解決問題的方法跟所謂正統方法不一樣。

“每一堆，我再分成兩堆，一堆一張，一堆剩下的。我剛已經解過類似的情況，只要把一張的翻過來就好。然後再把所有一張的合起來成一堆，所有其它的另一堆，就好了。”她得意地解釋。

“妳這麼辛苦分了十九堆，每堆又分一張出來，翻面，再放一起，不就等於拿十九張出來，全部翻面？”，她想了下，笑著同意。

再過一會兒，我發現不對。追到客廳去。“妳剛唬弄我啦，妳分成十九堆，又不保證每堆都剛好有一個正面！”

“蛤？”她傻笑。

再過了一會兒，她又跑進房間來解釋。“如果原先十九堆，不是剛好每堆一個正面的話，老天爺可以好心地幫我稍微換一下，變成每堆剛好一個正面。反正最後我是將一張的小堆全放在一起，老天爺幫我換一下其它的，並不影響我的方法。所以，在老天爺的幫忙下，我就可以套用之前的方法了。”

蛤？還有這樣解的啊？不過，其實我還蠻喜歡這個解法的。雖然繞了一大圈，但它是個建構式的想法。先把問題最簡單化。再將最簡單化的解法，套用在較困難的問題上。

又是老闆出的題目，這題應該算簡單，有興趣的人可以試試。

假設你的眼睛被矇起來。我給了你一副樸克牌，有 19 張牌正面朝上，有 33 張牌正面朝下。你的任務是把這些牌分成兩堆，兩堆可以不一樣多張，但是，牌面朝上的張數必須一樣多。你能辦到嗎？

看來，這個小問題，沒有人有作答的興趣。我就公佈答案：

自己隨便選一個取值在負無限大到無限大的機率分佈，比如，就取常態分佈 N(0,1) 好了。隨機從這分佈取一個值，如果對方給你看的數比你隨機取的那個值大，就猜另一個數比較小；反之，則猜另一個數比較大。

這樣的猜法，會比隨便猜的 50% 要稍大一點點。為什麼？留給有興趣的人自己想一想 :)

這也是個老闆以前上課出的趣味小問題。不同於前一題在考驗對機率空間整個架構的了解，這題是比較活潑的問題，看看大家的創造力。

假設我今天從某個隨機分佈中隨機取了兩個數，我不告訴你那隨機分佈是什麼，可能是常態分佈，也可能是某個我自己隨便亂造的機率分佈。總之，我藉此隨機取了兩個數，並把其中一個數告訴你，而要你猜另一個數比較大或比較小。在什麼都不知道的情況下，這樣的猜測似乎只有 50% 的機率？但我希望你想個方法，使你猜對的機率略大於 50%，你辦得到嗎？還是這是強人所難？

題目請參考這裡。

其實假設選到的是 X 並沒有問題，設變數時並不是一定得設原來兩個紙袋中各有 Y 和 2Y。在假設選到的是 X，以及另一袋是 X/2 跟 2X 的機會各半，從此推算另一袋的期望值是 1.25X 在計算上也沒有問題。那問題在哪裡？

多數人大概沒想到，問題出在另一袋是 X/2 跟 2X 的機會各一半是有問題的。看來不是很直覺，另一袋是 X/2 跟 2X 的機會應該是各一半啊？這個推論是根據：原本那兩袋裡面的任何錢的機率是一樣的。數學一點的說法：若原本兩袋裡的錢是（Y, 2Y），則對於任何的 a，Pr(Y=a) 是個定值。很不幸地，這雖然看起來很平常，卻是個無法辦到的事。像本題這樣，當定義域是無界的，你無法給 Pr(Y=a) 一個值，而還要讓它加起來等於一（或是定 pdf，然後積分起來等於一）。

一個機率空間是個三合一的空間，它包含了 space，Borel field，以及 probability measure。space 就是定義域，比如說是整數，實數，二維空間等。Borel field 是某種 field，是一堆定義域子集。B.F. 裡面的一個元素，可以想成是某種可能會發生的事件。最後，probability measure 就是大家較熟悉的機率測度。一般人常會不管 space 和 B.F. 而只在意機率。今天這個例子就在顯示，這是一件非常危險的事。即使看起來很直覺，但若不小心用，機率是會產生錯誤的。

這個問題，以前上老闆的課時，就聽他講過。過了好幾年，他現在又講給新的學生聽（真是沒長進XD）。不過，的確是有趣的問題。

假設今天有兩個紙袋，我在裡面裝了一些錢，其中一袋的錢是另一袋的兩倍。現在讓你任選一袋為獎金。當你選了一袋後，一打開是廿塊美金。此時，我跟你說，我多給你一個機會，你可以選擇拿著廿塊，或者拿另一個未知的。於是，你開始在心中盤算，還好上課有認真上，這個期望值的算術難不倒你。那個未知的紙袋，有一半的機會是四十塊，另一半的機會是十塊，就期望值來說，選另一袋的期望值是廿五塊。所以，你很有自信地去選擇另一袋。

感覺奇怪嗎？怎麼會換了，平均來說較好？

如果，在你還沒看多少錢之前就先問你要不要換，你假設你選到是 X，也會算出換另一袋的期望值是 1.25X，所以該換。換了後，你可以再算一次，又會發現再換更好。換越多次，值望值越高，這是怎麼回事？