水瓶倒出的流水帳

題目請參考這裡。

其實假設選到的是 X 並沒有問題，設變數時並不是一定得設原來兩個紙袋中各有 Y 和 2Y。在假設選到的是 X，以及另一袋是 X/2 跟 2X 的機會各半，從此推算另一袋的期望值是 1.25X 在計算上也沒有問題。那問題在哪裡？

多數人大概沒想到，問題出在另一袋是 X/2 跟 2X 的機會各一半是有問題的。看來不是很直覺，另一袋是 X/2 跟 2X 的機會應該是各一半啊？這個推論是根據：原本那兩袋裡面的任何錢的機率是一樣的。數學一點的說法：若原本兩袋裡的錢是（Y, 2Y），則對於任何的 a，Pr(Y=a) 是個定值。很不幸地，這雖然看起來很平常，卻是個無法辦到的事。像本題這樣，當定義域是無界的，你無法給 Pr(Y=a) 一個值，而還要讓它加起來等於一（或是定 pdf，然後積分起來等於一）。

一個機率空間是個三合一的空間，它包含了 space，Borel field，以及 probability measure。space 就是定義域，比如說是整數，實數，二維空間等。Borel field 是某種 field，是一堆定義域子集。B.F. 裡面的一個元素，可以想成是某種可能會發生的事件。最後，probability measure 就是大家較熟悉的機率測度。一般人常會不管 space 和 B.F. 而只在意機率。今天這個例子就在顯示，這是一件非常危險的事。即使看起來很直覺，但若不小心用，機率是會產生錯誤的。