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September 14,2005

這是怎麼回事？

這個問題，以前上老闆的課時，就聽他講過。過了好幾年，他現在又講給新的學生聽（真是沒長進XD）。不過，的確是有趣的問題。

假設今天有兩個紙袋，我在裡面裝了一些錢，其中一袋的錢是另一袋的兩倍。現在讓你任選一袋為獎金。當你選了一袋後，一打開是廿塊美金。此時，我跟你說，我多給你一個機會，你可以選擇拿著廿塊，或者拿另一個未知的。於是，你開始在心中盤算，還好上課有認真上，這個期望值的算術難不倒你。那個未知的紙袋，有一半的機會是四十塊，另一半的機會是十塊，就期望值來說，選另一袋的期望值是廿五塊。所以，你很有自信地去選擇另一袋。

感覺奇怪嗎？怎麼會換了，平均來說較好？

如果，在你還沒看多少錢之前就先問你要不要換，你假設你選到是 X，也會算出換另一袋的期望值是 1.25X，所以該換。換了後，你可以再算一次，又會發現再換更好。換越多次，值望值越高，這是怎麼回事？



Posted by bubblesld at 樂多Roodo! │13:56 │回應(7) │引用(0) │數學
樂多分類：學術/學習 共同主題：數學 工具：編輯本文
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回應文章
期望值不能拿來作為實數計算吧...
Posted by kikory at September 16,2005 02:38
我沒有很明白你所謂 "實數計算" 的意思。

其實，有兩種算法，第一種是我文章所提的，假設取到的是 x, 則原來兩個，有可能是 (2/x, x)，也有可能是 (2x, x)。另一袋的期望值是 5/4x。

另一種算法是，假設兩袋的錢是 (x, 2x)，則取到的可能是 x, 也可能是 2x, 於是取到的期望值是 3/2x，另一袋也是 3/2x。

第二種算法的結果較符合一般的直覺，但第一種算法看起來也沒錯。要問的是，到底錯在哪裡？
Posted by Bubble at September 16,2005 02:58
首先，你所有的分數表示法都是錯的。

兩種算法都一樣，第一個是先算出各自的值再相加，第二個是先算出總值再除以個數(這裡是二)。

第一種算法，假設 (a) 拿到的是 x，另一個可能是 x/2；但也可能是 (b) 拿到的本身是 x/2 而另一袋是 x，最後期望值都各為 3x/2。我們也可以將 (b) 說成先拿的是 y，另一袋是 2y，只是 y = x/2。

期望值還是可以用實數計算，例如在這邊的 20 圓就是這個 3x/2 的值，那麼另一袋也是 3x/2 也就是 20 圓的期望值。只要記得眼睛所看到的是已經經過計算的「結果」，而不是由眼睛所看到的去產生結果，就不會被誤導。
Posted by ?? at September 17,2005 14:49
"第一種算法，假設 (a) 拿到的是 x，另一個可能是 x/2；但也可能是 (b) 拿到的本身是 x/2 而另一袋是 x，最後期望值都各為 3x/2。我們也可以將 (b) 說成先拿的是 y，另一袋是 2y，只是 y = x/2。"

這樣算，你等於是用第二種算法在算。第一種方法跟第二種方法的不同在於：第一種是假設你選到的是 x，第二種則是假設那兩袋中，最小的是 x。

沒有道理，必須假設原來最小的是 x，而不能假設你選到到的是 x。現在兩個不衝突的假設，卻推導出不同的結論，是本題要探討的地方。
Posted by Bubble at September 17,2005 21:21
兩袋錢可以用(n, 2n)來代表，n為某一定值，因為X本身就不是代表一個數，而是代表n或2n的兩者之一，應把它拆成Xa和Xb兩種情況再來算期望值才會合理，把(X/2+2X)/2改成((Xa)/2+2(Xb))/2

Xa代表先拿到2n的情況，而Xb代表先拿到n的情況，所以((2n/2+2n)/2=1.5n，
Posted by Yaz at September 21,2005 19:30
如果把只換一次的情況想成:"猜錢幣正反面遊戲 猜中錢加倍 猜錯錢減半"那麼期望值是1.25X是很合理的.這樣想對嗎?
Posted by KDE at October 21,2005 16:10
"猜錢幣正反面遊戲 猜中錢加倍 猜錯錢減半"那麼期望值是1.25X是很合理的。

只換一次的情況之所以跟上述例子不能直接連上，是因為原題中加倍跟減半的機率不可能相等。
Posted by Bubble at October 21,2005 21:25
  


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