水瓶倒出的流水帳

棒球統計界最常用到的 Expected Wins 是 Bill James 所提出的 Pythagorean Formula。他認為，一個隊的勝率約等於 RS^2/(RS^2+RA^2)，其中 RS 是得分（runs scored），RA 是失分（runs allowed）。之所以被廣泛使用，主要原因大概是，它預測得還蠻準的。我從來不喜歡這個公式。RS^2+RA^2 似表什麼？那個比例又為什麼會接近一個隊的勝率？背後有任何的道理？就只是它預測的準而已？ Bill James 後來還把那個 power 2 改成一些小於 2 的不同值，得到更好的預測，也是我無法認同的。我認知的統計不是這樣的。統計的作用是在測試一個假設模型，而這模型應該是根據某些背景知識，而不是隨便寫個模型和一些未知係數，經過一些迴歸方法，找到最符合數據的係數。做生物統計的人會知道，即使你的模型再符合數據，如果你的參數不能代表一個生物上的意義，你的模型是不會被接受的。統計是套強大有用的工具，但它是個輔助工具，用途是檢視驗證模型，而不是無中生有創造模型。有時候，藉由統計的方法，可以看出一些平常沒發現的規則，但發現之後，必須補充一套背後的理論，而不是單單讓一個公式成為準則。就我的觀點，Bill James' Pythagorean Formula 就只是個無中生有的公式，我沒有看到它的背後解釋。

接下來，我要談我怎麼看一個隊的勝率。一場球要贏球，就是得的分比失的分多，這是大家都知道的廢話，卻也是個簡單的事實。於是，要看一個球隊的勝率，可以看它得分比失分多的機率。於是，可能的模型是：得分是某個機率分佈，失分是某個機率分佈，得分與失分兩者不相關（甚至獨立），於是，就可以算那個機率。又或者，模型直接建構在得分減失分，而直接算這個機率分佈大於零的機率。老實說，我很少在整理數據，也不擅長於此。感謝萬能老婆的幫助，將去年（2004）的每一場分數整理好，讓我可以做些檢驗。

首先看看去年 2428 場比賽的 4856 筆得分之分佈：

每場的得分，是個取值於整數點的變數，第一個猜測是它是不是個 Poisson 分佈？Poisson 分佈的一個特性是期望值等於變異數。算一算這份數據，平均值是 4.8136，變異數是 10.3564，跟 Poisson 分佈有一段差距。再來，看它的形狀，勉強看起來像是左邊被截掉的常態分佈。常態分佈的取值是連續的，要用常態分佈，只能當作是經過類似四捨五入，將連續的值變成離散的整數。常態分佈的好處是，很多計算，變得方便許多，尤其若得失分是獨立的。獨立與否，不容易檢驗，通常只看兩者是否相關。從去年的資料顯示，得失分的相關係數只有 0.0407，可以說是蠻不相關的。若得分的分佈是 N(mu1, sigma1^2)，失分的分佈是 N(mu2, sigma2^2)，則得分減失分的分佈是 N(mu1-mu2, sigma1^2+sigma2^2)。這中間還有一個麻煩是，得分減失分不會是零，他們會延長比賽，打到分出勝負。由實際數據顯示的得分減失分的分佈如下。也還蠻像常態分佈，只是在零處沒有值。

之前的數據都是三十隊一起看。一個問題是，若分開看的話，得分或失分較多的，變異數會不會較大？在 Bill James' Pythagorean Formula 的計算下，得 x 分，失 y 分的勝率會和得 ax 分，失 ay 分的勝率相同。這種現象，等於是假設得 ax 分的隊，得分變異數是得 x 分的 a^2 倍。於是，我就去看看，各隊得失分與標準差（變異數的開根號）的關係：

上圖是得分，下圖是失分，Ｘ軸是平均值，Ｙ軸是標準差。的確是有得失分越高，標準差越大的趨勢，但平均分變 a 倍，標準差並沒有變到 a 倍。用線性迴歸得到的迴歸直線是：得分標準差=1.6707+0.3131*得分平均值，失分標準差=0.9242+0.4689*失分平均值。1.6707 跟 0.9242 都是大到無法被忽視的數字（從 p-value 觀點），表示得失分變多，標準差成等比例變大，是不正確的。同樣地， 0.3131 跟 0.4689 則告訴我們，若把標準差當成固定，也是不正確的。

以下，我看三個統計值，S1，S2 和 S3。分別是各隊的得失分差除上標準差。不同的是，在 S1，假設所有隊的標準都相同；在 S2，假設標準差是隨平均值線性增加；在 S3 則採用上面求得的迴歸直線來預測標準差。F(x) 是常態分佈的累積機函數（CDF）。F(S1) ，F(S2) 和 F(S3) 是由三個不同假設估計的勝率。其中，實際資料的得失分差的標準差是 4.4576，但考慮實際資料在 0 沒有數據，若補上這些資料，標準差會變小。藉由一些計算，我採用 3.6 當做固定標準差。而在 S2 和 S3 的計算，也都同時乘上 4.4576/3.6 的比例。

上表中的 "估計勝率" 是經由 Pythagorean Formula 算出來的勝率。原本，我只希望這結果能不要差太多就好。這是有個背後模型在支撐，只要有接近的結果，我就滿意。想不到，結果比我預期得要好很多。不管是哪個假設下，相關係數或平均絕對誤差，都比經 Pythagorean Formula 算出來的要好。其中，最令我最驚訝的是，連 S1 跟實際勝率的標準差都已經較高。等於是說，單單只看得分減失分這個數據，它跟實際勝率的相關度都比較高。我去算了一下，0.5+0.11*(平均得分-平均失分)，其中 0.11 是為了調整成標準差相同。發現它跟實際勝率的平均絕對誤差是 0.184，也比 Pythagoream Expected Wins 的誤差要小。我真的不知道，連得失分差去變形一下都可以表現得較好，Pythagorean Expected Wins 居然可以存在而被廣泛使用。

最後，回過頭看看，為什麼 Pythagorean Expected Wins 可以有還不錯的估計？公式是 RS^2/(RS^2+RA^2)。將它稍微改寫一下可以變成 1/2 + (RS - RA)*(RS + RA)/(RS^2 + RA^2)/2。如果把 (RS + RA)/(RS^2 + RA^2)/2 看作一個變數，它就跟 0.5+0.11*(平均得分-平均失分) 長得頗像。而因為那個變數的起伏，造成它的表現變差。