水瓶倒出的流水帳

WPA（Win Probability Added）這個概念，是目前我看到，最接近衡量貢獻度的方法。它的概念是，每個球員上場時，依當時的狀況（比分差，出局數，壘上跑者）有個球隊獲勝的機率，等這球員做完一次攻擊（或投手投一個人次），依之後的狀況，也有個球隊獲勝的機率。兩個機率的差，就是球員對於增加球隊獲勝的貢獻。

就概念來說，我覺得非常好，但實用上卻有點麻煩。一個麻煩是，每個 play 所造成的機率改變，投手，打者，防守員，甚至跑者都會有影響，這機率差，如何正確地分出去，是一件難事。目前的算法，只分成攻守兩方各一份，攻方由打者（盜壘時跑者）得到，守方由投手（失誤應該要由失誤的人）承擔。這樣做，雖然不精確，但勉強可以接受。真正麻煩的是，最基本的各種情況下，勝率估計的問題。

目前勝率的算法，是根據以往的記錄，看某段期間內的數據，有多少次發生這種狀況，勝率就是這些狀況下，後來球隊真的贏球的機率是多少。簡單說，是一種 empirical 的估計。empirical 的估計要準確，一個要件是樣本數夠大。要夠大的樣本數，就必須用很多年的資料。但這裡有一個問題，這勝率可能隨年代改變，比如現代的比賽得分較多，逆轉自然較常發生。若把不同年代的數據一起作 empirical 估計，是否合理？也是必須進一步檢查的問題。

我較常去看的一個表是 Christopher Shea 的 Win Expectancy Finder。他原本的數值是由 1979-1990 中所有比賽估計出來的。最近又加了 2000-2004 的資料。之前就曾在想，因為根據的是 empirical 的結果，不知會不會有打者有好表現，反而降低球隊勝率的狀況。昨天看比賽時，偶爾會去按按當時的勝率，結果就發現了一個有趣的情況。五局下，兩出局後，Manny 原本在二壘，因為捕逸上到三壘。當時只是想，像這對於守方勝率的減少，應該要計在捕手身上，於是去查查機率的變化。結果歷史告訴我們，五局下，兩出局，一分領先，二壘有人，主隊的勝率，1979-1990 是 0.742，2000-2004 則是 0.737。二壘跑者上到三壘後，前者變成 0.719，後者變成 0.701。也就是根據歷史，不管是 1979-1990 或是 2000-2004，跑者從二壘到了三壘，反而讓球隊贏球的機會變小了。當然，這絕對不該是真的，只是因為剛好歷史發生的事，造成這樣的結果。類似的事，今天水手在三局上，一出局，平手的狀況，1979-1990 的勝率估計是 0.446，2000-2004 則是 0.437。一支一壘安打，打者上到一壘後，1979-1990 的值變成 0.473，2000-2004 的值則是 0.429。也就是根據 2000-2004 的資料，打了安打，球隊的勝率變低了。

要解決這個問題，一個方法是取更多年的樣本，但這仍牽涉到我之前所提到，如此相加是否合理的問題。另一個方法是，訂出一些限制後，再做估計。比如，令 P(a,b,c,d) 是 a 局下，勝分差 b，出局數 c，壘上情況 d 之下的勝率。那在 a, b, c 不變時，P 在 d 增加時，不能夠減少。在 a, b, d 不變時，P 在 c 增加時，不能夠增加。另外像一些比較不直觀的，b=c=d=0，P 隨著 a 增加而增加。總之，就是訂出一些合理的限制，也就等於是在訂一個模型，然後再來估計這 P 值。在有這些限制下，估計自然不再是那麼單純，卻是可行的。